О написании названии чая Те Гуаньинь. Или Тегуаньинь, или Те Гуань Инь…

Все три варианта написания имеют место быть.
Споры возникают из-за того, что в китайском языке нет пробелов и границу между словами можно определить только понимая их смысл. По правилам русской транслитерации нужно ставить пробелы, если в кучке иероглифов наблюдается несколько слов (да, слово может состоять и из нескольких иероглифов).

Так я последние несколько лет всегда использовал вариант Те Гуаньинь, опираясь на значение «железная Гуаньинь», то есть потому что это два слова.

Написание Те Гуань Инь вызвано просто делением названия на обозначаемые тремя иероглифами три слога. Часто на китайских упаковках пишут Tie Guan Yin, просто потому что китайцам так удобнее. Они не парятся как делить пробелами, хотя членить фразы на слова они прекрасно умеют. Слов тут точно не три, поэтому так я не пишу.

Вариант Тегуаньинь очень удобен в русском письме, потому что зачем делить это на несколько слов, если мы эти слова в речи почти не используем? Редкого от кого слышишь про мифическую Гуаньинь, но часто про Тегуаньинь.
Слитный вариант логичен, если смотреть на название как на самостоятельное слово, у которого Железная Гуаньинь - это лишь его происхождение.
Кстати, научное латинское название этого сорта пишется как Camelia sinensis var. sinensis cv. Tieguanyin - название культивара тут слитное.

Я специально поспрашивал китайцев (учеников, поставщиков), сколько же слов в этих иероглифах 铁观音? Все однозначно ответили, что одно. Аргумент, что Гуаньинь - это отдельное слово, потому что оно есть, не работает, так можно любое китайское слово поделить, а значение поменяется, как и тут: Гуаньинь - женщина, Тегуаньинь - чай. Так устроен китайский язык, что очень часто при использовании нескольких иероглифов возникает новое слово, а не словосочетание.

Тигуаньинь, тегуанинь, тигуанинь и пр. я не рассматриваю. Это просто люди пишут, как слышат, но меня это никак не задевает.